- 中学３年生
- 前期期末テスト
平方根
平方根は、今後の数学の基本となる範囲といえます。特に根号の計算は、この後に学習する２次方程式、２次関数、三平方の定理と使いますので、必ずできるようにしましょう。根号の計算ですが、根号の積や商はわかりやすいのですが、根号の和と差は根号の中の値が同じでないと計算できません。根号はπや文字と同じと考えるとよいでしょう。また、根号の中の数字を簡単にして、ａ√ｂの形にすることができます。解答では必ずａ√ｂの形にできるときはしなくてはいけません。このａ√ｂに簡単な数になおすところが平方根のポイントです。何度も練習しておきましょう。また、平方根は、平方数(２乗の数)を整数にできますので、９＝３2, 81＝９2, 169＝132など覚えておくとよいでしょう。ヴィストの計算のプリントや解法集、学校の問題集などを使いよく練習しておきましょう。
平方根
２乗するとａになる数を、ａの平方根といいます。例えば、16の平方根は±４です。
根号
記号√のことです。
平方根の大小
正の数ａ,ｂについて、
ａ＜ｂならば、
循環小数
ある桁から先が同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことです。例えば、0.273737373…のような数です。
有理数
整数ｍと０でない数のｎを使って、分数
無理数
有理数でない数。
学校の定期試験では、語句や語句の意味もよく出題されていますので、テスト前に確認しましょう。
次の平方根を求めなさい。
25
±５
７
±
48
±４
次の根号を簡単にしなさい。
９
３
16
３
49
３
64
３
100
３
８
２
12
２
18
３
20
２
32
４
45
３
48
４
50
５
75
５
次の計算をしなさい。
３×２
18÷２
３
２７×４21
56
２÷３
５２÷５
４２＋３２
７
－３＋２２－３３
２
４12－75－27
０
(３＋２)2
５＋２
(５－２)(５＋２)
１
(６－３)(２６＋１)
９－５
√２＝1.414 として、次の値を求めなさい。
18
4.242
20000
141.4
0.02
0.1414
次の問いに答えなさい。
ｎ＜52＜ｎ＋１ を満たす自然数ｎを求めなさい。
７
４≦ｘ≦５ を満たす自然数ｘが何個あるか求めなさい。
10個
18ａ の値が自然数になるような自然数ａのうち、最小のものを求めなさい。
２
ｘ＝３＋５ のとき、ｘ2－10ｘ＋25 の値を求めなさい。
３
２次方程式
２次方程式も平方根と同様に、今後の数学でも使いますので、必ずマスターしておきましょう。一見、２次方程式は難しく見えますが、解法は３種類しかありません。まず、方程式がｘの２乗のみの式の場合は、「ｘ2＝数字」の形に変形すれば「ｘ＝±√数字」となります。ｘの２乗だけでなく、ｘの１次式も含まれる場合は、因数分解ができれば因数分解を行って解きます。因数分解ができない場合は、解の公式を用います。この手順で解けば必ず解けますので、くじけずに練習を積みましょう。２次方程式は、因数分解と平方根を用いますので、因数分解や平方根が苦手の際は、前の範囲に戻って練習しましょう。
２次方程式
移項して整理すると、(ｘの２次式)＝０ という形になる方程式をいいます。一般に、
ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０
で表されます。
解の公式
２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解は
ｘ＝
次の方程式を解きなさい。
ｘ2＝25
ｘ＝±５
３ｘ2＝36
ｘ＝±２
ｘ2－６ｘ＝０
ｘ＝０,６
ｘ2－ｘ－６＝０
ｘ＝－２,３
ｘ2＋８ｘ＋16＝０
ｘ＝－４
９ｘ2－12ｘ＋４＝０
ｘ＝
ｘ2＋３ｘ－２＝０
ｘ＝－２±
２ｘ2＋８ｘ＋２＝０
ｘ＝
２(ｘ2＋ｘ＋２)＝－ｘ＋３
ｘ＝－１,－
次の問いに答えなさい。
２次方程式 ｘ2－ａｘ＋８＝０ の解の１つが２であるとき、ａの値ともう１つの解を求めなさい。
ａ＝６, もう１つの解は４
次の問いに答えなさい。
ある自然数を平方した数に12を加えると、もとの数の７倍になりました。このとき、この自然数を求めなさい。
３と４