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2次方程式

2次方程式も平方根と同様に、今後の数学でも使いますので、必ずマスターしておきましょう。一見、2次方程式は難しく見えますが、解法は3種類しかありません。まず、方程式がxの2乗のみの式の場合は、「x2=数字」の形に変形すれば「x=±√数字」となります。xの2乗だけでなく、xの1次式も含まれる場合は、因数分解ができれば因数分解を行って解きます。因数分解ができない場合は、解の公式を用います。この手順で解けば必ず解けますので、くじけずに練習を積みましょう。2次方程式は、因数分解と平方根を用いますので、因数分解や平方根が苦手の際は、前の範囲に戻って練習しましょう。

2次方程式

移項して整理すると、(xの2次式)=0 という形になる方程式をいいます。一般に、
 ax2+bx+c=0
で表されます。

解の公式

2次方程式 ax2+bx+c=0 の解は

 x=

-b±
2-4ac
2a

次の方程式を解きなさい。

2=25

x=±5

3x2=36

x=±2

2-6x=0

x=0,6

2-x-6=0

x=-2,3

2+8x+16=0

x=-4

9x2-12x+4=0

x=

2+3x-2=0

x=-2±

2x2+8x+2=0

x=

-3±
17

2(x2+x+2)=-x+3

x=-1,-

次の問いに答えなさい。

2次方程式 x2-ax+8=0 の解の1つが2であるとき、aの値ともう1つの解を求めなさい。

a=6, もう1つの解は4

次の問いに答えなさい。

ある自然数を平方した数に12を加えると、もとの数の7倍になりました。このとき、この自然数を求めなさい。

3と4

2次関数

2次関数は、グラフの形とともに式や座標の使い方が重要になる単元です。まず、一般式「y=ax2」の形を覚えましょう。あとは、座標を代入して式を求めたり、式を連立させて座標を求めるやり方は、1次関数の時と同じです。難しくなるのは、図形との融合問題などの場合です。また、2次方程式を用いるため、因数分解も用い、場合によって、解の公式も用います。しっかりとパターン学習をしておきましょう。

2次関数のグラフ

グラフを答える問題では、一般式のaの値を見ることで、簡単にかつ正確に回答することができます。aが正の数の場合、グラフは上に開きます。負の数の場合、下に開きます。また、aの値が小さくなるほど、グラフが横に大きく開いていきます

変化の割合

aの値は、変化の割合を求めます。変化の割合=

yの増加量
xの増加量
を用います。

変域

2次関数の変域の場合、xの変域が負から正へと符号がまたがる場合、yの変域の最大値または最小値に、必ず0が入ります。図を自分の手で書けるようにしておくことが、ミスをしないカギとなります。

次の問いに答えなさい

y=4x2について、xの値が2から5まで増加する時の変化の割合を求めなさい

x=2の時、y=16 x=5の時、y=100より、変化の割合=

84
=28

y=x2で、xの値が1から3まで増加する時の変化の割合が、1次関数y=ax+2の変化の割合と等しくなった。このときのaの値を求めなさい

x=1の時、y=1 x=3の時、y=9より、変化の割合=

=4 1次関数の変化の割合と等しいとあるので、a=4

次の問いに答えなさい。

関数y=-2x2について、xの変域が-1≦x≦2のときのyの変域を求めなさい-ax+8=0 の解の1つが2であるとき、aの値ともう1つの解を求めなさい。

グラフが下に開くこととxの変域が負から正へとまたがっているため、yの変域は0が最大値となります
yの最小値はx=2の時なので、y=-8
よって、-8≦y≦0

関数y=ax2が点(4、8)を通る。xの値が0からtまで増加するときの変化の割合をtを用いて表しなさい。

一般式に(4、8)を代入すると、a=

となります。
次に、xの値が0からtまで増加しますから、x=0の時、y=0 x=tの時、y=
2
よって、変化の割合=
2

関数y=ax2について、xの変域が-2≦x≦3のときのyの変域が-6≦y≦0である。この場合のaの値を求めなさい。

グラフ上で考えると、yの変域から下に開くことがわかります。xの変域が負から正へとまたがっているため、yの変域は0が最大値となりますから、座標は(3、-6)を通ります。これを一般式に代入します。
よって、y=-x2

2次関数y=2x2と1次関数y=3x-1との交点の座標を求めなさい。

交点の求め方は、2式を連立することで求められます。連立すると、2x2=3x-1
2x2-3x+1=0
(2x-1)(x-1)=0なので、x=1、


よって、(1、2)(
)